数据结构学习笔记 - 06 二分搜索树
关于树结构
计算机中的文件夹系统，现实生活中的图书馆、公司组织架构等，都是树结构。
树结构相比线性结构的一大优势就是将查找效率由 O(n) 提升到了 O(lgn)，因为我们往往只需顺着树的一支就能找的我们需要的元素了。
二叉树介绍
- 二叉树名词：左孩子、右孩子、左子树、右子树、父亲节点、叶子节点；
- 二叉树具有唯一根节点；
- 每个节点最多有两个孩子节点；每个节点最多有一个父亲节点；
- 二叉树具有天然递归性，左子树、右子树都是一个二叉树；
- 二叉树不一定是满的，一个链表、一个根节点、甚至空都可以看作是一棵二叉树；
二分搜索树介绍
BST 即 Binary Search Tree 二分搜索树。
二分搜索树特点：
- 首先是一棵二叉树；
- 二分搜索树每一个节点的值都大于其左子树中所有节点的值，都小于其右子树中所有节点的值。二分搜索树具有顺序性。
- 所存储的元素必须具有可比较性。
- 不必是一棵完全二叉树，更不必是满二叉树。
// 这就是一棵二分搜索树。
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15 40 61所以，当我们在二分搜索树中查找一个元素的时候，只需从根节点开始比较即可，并不需要对所有元素进行遍历。
二分搜索树的实现
这里这个二分搜索树需要满足泛型，同时，这个类型必须是可比较的，因此，这个类型 E 需要满足 Comparable 这个接口。类似地，可以和 Swift 中的协议做对比。
我们实现的这个二分搜索树不包含重复元素。
public class BST<E extends Comparable<E>> {
// 在类的内部定义一个二分搜索树的节点类
private class Node {
public E e;
public Node left, right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
// 根节点
private Node root;
// 元素数量
private int size;
public BST() {
root = null;
size = 0;
}
public int size() {
return size;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
/**
* 给树添加新元素。
*/
public void add(E e) {
// if (root == null) {
// root = new Node(e);
// size++;
// } else {
// add(root, e);
// }
// 改进后
root = add(root, e);
}
/**
* 向以 node 为根的二分搜索树中插入元素 E， 递归算法。
*/
// private void add(Node node, E e) {
// if (e.equals(node.e)) {
// return;
// } else if (e.compareTo(node.e) < 0 && node.left == null) {
// node.left = new Node(e);
// size++;
// return;
// } else if (e.compareTo(node.e) > 0 && node.right == null) {
// node.right = new Node(e);
// size++;
// return;
// }
// if (e.compareTo(node.e) < 0) {
// add(node.left, e);
// } else {
// add(node.right, e);
// }
// }
/**
* 改进后的递归函数。
*/
private Node add(Node node, E e) {
if (node == null) {
size++;
return new Node(e);
}
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = add(node.left, e);
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = add(node.right, e);
}
return node;
}
/**
* 查看二分搜索树中是否包含元素 e
*/
public boolean contains(E e) {
return contains(root, e);
}
/**
* 私有的递归方法。
*/
private boolean contains(Node node, E e) {
if (node == null) {
return false;
}
if (e.compareTo(node.e) == 0) {
return true;
} else if (e.compareTo(node.e) < 0) {
return contains(node.left, e);
} else {
return contains(node.right, e);
}
}
/**
* 二分搜索树的前序遍历。
* 前序遍历就是先访问节点，然后访问左右子树。
*/
public void preOrder() {
preOrder(root);
}
/**
* 二分搜索树前序遍历私有递归方法。
*/
private void preOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
System.out.println(node.e);
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
/**
* 非递归写法的前序遍历。
*/
public void preOrderNR() {
Stack<Node> stack = new Stack<>();
stack.push(root);
while (!stack.isEmpty()) {
Node cur = stack.pop();
System.out.println(cur.e);
if (cur.right != null) {
stack.push(cur.right);
}
if (cur.left != null) {
stack.push(cur.left);
}
}
}
/**
* 二分搜索树的中序遍历。中序遍历最重要的特点就是，它就是元素从小到大的排序。
* 中序遍历就是先遍历左子树，再遍历根节点，再遍历右子树。
*/
public void inOrder() {
inOrder(root);
}
/**
* 中序遍历递归方法。
*/
private void inOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left);
System.out.println(node.e);
inOrder(node.right);
}
/**
* 二分搜索树的后序遍历。
* 后序遍历就是先遍历左右子树，再遍历根节点。
* 后序遍历的一个应用是为二分搜索树释放内存。
*/
public void postOrder() {
postOrder(root);
}
private void postOrder(Node node) {
if (node == null) {
return;
}
inOrder(node.left);
inOrder(node.right);
System.out.println(node.e);
}
/**
* 层序遍历。顾名思义，就是从跟节点开始一层一层遍历，每层从左到右。
* 层序遍历一般使用非递归的算法完成，需要使用队列。这也是队列的一个不错的应用。
*
* 前序遍历、中序遍历、后序遍历都是深度优先遍历，而层序遍历是广度优先遍历。
*/
public void levelOrder() {
Queue<Node> q = new LinkedList<>();
q.add(root);
while (!q.isEmpty()) {
Node cur = q.remove();
System.out.println(cur.e);
if (cur.left != null) {
q.add(cur.left);
}
if (cur.right != null) {
q.add(cur.right);
}
}
}
/**
* 寻找二分搜索树的最小元素。
*/
public E minimum() {
if (size == 0) {
throw new IllegalArgumentException("BST is empty");
}
return minimum(root).e;
}
private Node minimum(Node node) {
if (node.left == null) {
return node;
}
return minimum(node.left);
}
/**
* 寻找二分搜索树的最大元素。
*/
public E maximum() {
if (size == 0) {
throw new IllegalArgumentException("BST is empty.");
}
return maximum(root).e;
}
private Node maximum(Node node) {
if (node.right == null) {
return node;
}
return maximum(node.right);
}
/**
* 从二分搜索树中删除最小值所在的节点，返回最小值。
* 注意点就是，如果最小值所在节点还存在右子树的话，需要把右子树的根节点接到该节点的位置。
*/
public E removeMin() {
E ret = minimum();
root = removeMin(root);
return ret;
}
/**
* 删除以 node 为根的二分搜索树的最小节点，并返回删除节点后新的二分搜索树的根
*/
private Node removeMin(Node node) {
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
/**
* 从二分搜索树中删除最大值所在的节点，返回最大值。
* 注意点就是，如果最大值所在节点还存在左子树的话，需要把左子树的根节点接到该节点的位置。
*/
public E removeMax() {
E ret = maximum();
root = removeMax(root);
return ret;
}
/**
* 删除以 node 为根的二分搜索树的最大节点，并返回删除节点后新的二分搜索树的根
*/
private Node removeMax(Node node) {
if (node.right == null) {
// Java 里类的赋值是完全拷贝？
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
node.right = removeMin(node.right);
return node;
}
/**
* 从二分搜索树中删除元素为 e 的节点。
*/
public void remove(E e) {
root = remove(root, e);
}
private Node remove(Node node, E e) {
if (node == null) {
return null;
}
if (e.compareTo(node.e) < 0) {
node.left = remove(node.left, e);
return node;
} else if (e.compareTo(node.e) > 0) {
node.right = remove(node.right, e);
return node;
} else {
// 待删除节点右子树为空
if (node.left == null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空
if (node.right == null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空
// 找到比待删除节点大的最小节点，即待删除节点右子树的最小节点，也就是这个节点的后继（相应也有前驱的概念）。
// 用这个节点顶替待删除节点的位置。
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
generateBSTString(root, 0, res);
return res.toString();
}
// 生成以 node 为根节点，深度为 depth 的描述二叉树的字符串。
private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res) {
if (node == null) {
res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
return;
}
res.append(generateDepthString(depth) + node.e + "\n");
generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
}
private String generateDepthString(int depth) {
StringBuilder res = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < depth; i++) {
res.append("--");
}
return res.toString();
}
}二分搜索树的遍历
- 前序遍历：先根节点，再左右子树。非递归可使用栈辅助实现。
- 中序遍历：先左子树、再根节点、再右子树。中序遍历正好元素从小到大的排序顺序。
- 后序遍历：先左右子树，再根节点。应用场景是内存释放，必须先把孩子节点释放才能释放该节点本身。
- 层序遍历：从根节点开始一层一层遍历。非递归可使用队列辅助实现。